Complex Analysis

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Diese Notizen bestehen aus Folgendem
Kapitel auf einfache und detaillierte Weise:
Kapitel 1: Grundkonzepte und komplexe Zahlen
Kapitel 2: Analytische oder reguläre oder holomorphe Funktionen
Kapitel 3: Elementare transzendentale Funktionen
Kapitel 4: Komplexe Integration
Kapitel 5: Potenzreihen und verwandte Theoreme
Kapitel 1: Grundkonzepte und komplexe Zahlen

Einführung in komplexe Zahlen
Komplexe Ebene (Argand-Diagramm)
Real- und Imaginärteile
Komplexe Konjugate
Modul (Absolutwert) und Argument
Polarform komplexer Zahlen
Operationen mit komplexen Zahlen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division)
Komplexe Potenzierung
Wurzeln komplexer Zahlen
Komplexe ebene Geometrie
Komplexe konjugierte und absolute Werteigenschaften
Eulers Formel
Anwendungen in Ingenieurwesen und Physik
Kapitel 2: Analytische oder reguläre oder holomorphe Funktionen

Definitionen und Terminologie
Die Cauchy-Riemann-Gleichungen
Analytische Funktionen und holomorphe Funktionen
Beispiele für analytische Funktionen
Harmonische Funktionen
Konformes Mapping
Mapping-Eigenschaften analytischer Funktionen
Analytizität elementarer Funktionen
Kapitel 3: Elementare transzendentale Funktionen

Exponentialfunktionen
Logarithmische Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Hyperbolische Funktionen
Inverse trigonometrische und hyperbolische Funktionen
Abzweigschnitte und Abzweigpunkte
Analytische Fortsetzung
Die Gammafunktion
Die Zeta-Funktion
Kapitel 4: Komplexe Integration

Linienintegrale in der komplexen Ebene
Pfadunabhängigkeit und mögliche Funktionen
Konturintegrale
Cauchys Integralsatz
Cauchys Integralformel
Anwendungen des Satzes von Cauchy
Satz von Morera
Schätzungen von Integralen
Kapitel 5: Potenzreihen und verwandte Theoreme

Potenzreihendarstellung analytischer Funktionen
Taylor-Reihe und Taylor-Theorem
Laurent-Serie
Singularitäten und der Residuensatz
Analytizität an der Grenze
Anwendungen von Potenzreihen
Kapitel 6: Singularitäten und Residuenrechnung

Klassifikation von Singularitäten (isolierte Singularitäten, essentielle Singularitäten)
Residuen und Residuensatz
Bewertung von Rückständen
Rückstand im Unendlichen
Anwendungen des Residuensatzes
Hauptwertintegrale
Kapitel 7: Konformes Mapping

Konforme Abbildungen und ihre Eigenschaften
Möbius-Transformationen
Konforme Abbildung einfacher Regionen
Konforme Mapping-Anwendungen (z. B. Lösung physikalischer Probleme)
Kapitel 8: Konturintegration

Konturintegrationstechniken
Integration entlang der reellen Achse (Jordans Lemma)
Rückstände an Polen
Cauchys Residuensatz überarbeitet
Auswertung realer Integrale mittels Konturintegration
Komplexe Integration in Physik und Ingenieurwesen
Kapitel 6: Singularitäten und Residuenrechnung
Kapitel 7: Konformes Mapping
Kapitel 8: Konturintegration

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